지금 시작해도 수학이 된다

“수학이 이렇게 쉬운 거였어?”
전지적 수포자 관점에서 다시 배우는 수학의 기초

수학은 무게나 길이를 계산하고, 형태가 복잡한 장소의 넓이를 구하는 것과 같이 일상생활의 과제나 의문점을 해결하기 위한 ‘무기’로 진화해왔다. 수학은 그 어느 과목보다 기초가 중요하다. 수업 시간에 기본 개념이나 공식을 이해하지 못하면 수학은 점점 더 괴롭고 힘들어진다. 머리가 똑똑해서 문제를 잘 푸는 경우도 간혹 있지만 대부분 수학을 잘하는 사람들은 지속적이고 반복적인 학습을 통해 집중적으로 시간을 투자하여 노력한 결과다. 하지만 수학은 한 발짝 뒤처지고 나면 그다음에 어디로 가야 하는지 막막해지는 과목이다. 점점 수업 시간이 싫어지다가 결국엔 수학을 포기하고 만다.
《지금 시작해도 수학이 된다》는 학창 시절에 ‘이런 것을 알려주는 책이 있었다면 좋았을 텐데’라는 마음으로 초중고등학교에서 배우는 수학 지식을 7가지 주제로 쉽고 재미있게 설명해주는 수학 입문서이다. 학교에서 배우는 수학 중에 가장 기본이 되는 개념들을 골라 수포자라도 다시 기초를 탄탄히 다질 수 있도록 구성하였다. 수에 대한 개념부터 논리와 증명까지 수학이 우리에게 왜 필요한지 친절하게 설명한다.

[목 차]

시작하는 말

서문
왜 수학을 공부하는지 진정한 의미를 알고 편안하게 배우자
즐기면서 이해가 깊어지는 4가지 ‘마음’
‘무기’의 확장을 느끼면서 중학 수학까지 단숨에 읽기

1장 수의 길
한 걸음 - ‘소수’와 ‘분수’의 특징과 구조를 안다
두 걸음 - 비율에 익숙해지면 물건을 살 때 조금도 망설이지 않는다
세 걸음 - ‘음수’로 자신 있게 뺄셈을 할 수 있다
네 걸음 - ‘마이너스 빼기’를 확실하게 할 수 있다
다섯 걸음 - 곱셈과 나눗셈에서도 음수를 쓴다
여섯 걸음 - 잴 수 있을 것 같은데 잴 수 없다? 제곱근의 의미를 알아둔다
일곱 걸음 - 수를 알고 이해하는 것이 수학의 모든 출발점이다

2장 방정식의 길
한 걸음 - 방정식이란 ‘모르는 수’를 맞히는 것
두 걸음 - 방정식을 세우는 것과 푸는 것은 다르다
세 걸음 - 일차방정식은 천칭이 된 마음으로 푼다
네 걸음 - 방정식이 꼭 하나만은 아니다, 연립일차방정식의 발견
다섯 걸음 - ‘모르는 수’가 하나면 좋겠다는 바람을 이루어주는 대입법
여섯 걸음 - 계수가 같으면 좋겠다는 바람을 이루어주는 가감법
일곱 걸음 - 강적 ‘이차방정식’을 공략하자
여덟 걸음 - 만능은 아니지만 강력한 인수분해를 시도해보자
아홉 걸음 - 일상에서도 쓸 수 있는 인수분해의 놀라운 기술
열 걸음 - 이차방정식의 완결, ‘근의 공식’을 내 것으로

3장 함수와 그래프의 길
한 걸음 - ‘함수’란 무엇인가? 그래프와의 관계를 알아보자
두 걸음 - 일차방정식은 직선, 식은 대부분 ‘y＝ax＋b’다
세 걸음 - 일차방정식을 그래프로 풀어보자
네 걸음 - 연립일차방정식도 그래프로 만들어서 풀어보자
다섯 걸음 - 강적 이차방정식도 그래프로 풀 수 있다

4장 도형의 길
한 걸음 - 삼각형의 ‘합동’과 ‘닮은꼴’의 뜻을 생각하기
두 걸음 - 삼각형이 합동이 되는 조건을 유도하기
세 걸음 - 삼각형의 닮은꼴 조건은 합동을 기반으로
네 걸음 - 도형의 성질을 알면 수치를 알 수 있다
다섯 걸음 - 정사각형의 넓이로 모든 도형의 넓이를 구할 수 있다
여섯 걸음 - 삼각형의 넓이 공식의 증명과 다각형으로의 응용
일곱 걸음 - 원 넓이의 ‘한없이 올바른 설명’
여덟 걸음 - 마무리로 ‘피타고라스의 정리’를 증명하기
아홉 걸음 - 닮은꼴이면 비율로 겉넓이와 넓이를 알 수 있다

5장 확률의 길
한 걸음 - 사람들은 어째서인지 ‘확률’을 오해하고 틀린다
두 걸음 - ‘경우의 수’라는 말에 민감해지자
세 걸음 - ‘수형도’, 고민된다면 일단 그려보자
네 걸음 - ‘그럴 경우는 몇 가지?’ 의외로 심도 깊은 ‘경우의 수’
다섯 걸음 - 확률로 꿈을 재보는 ‘기댓값’
여섯 걸음 - 사실은 꽤 어려운 ‘조건부확률’

6장 정수의 길
한 걸음 - 초등학교에서 배우는 나눗셈의 답의 종류는 2가지다
두 걸음 - 나머지가 없는 세계, 소인수분해, 공약수, 공배수
세 걸음 - 가장 오래된 알고리즘, ‘유클리드의 호제법’
네 걸음 - 프로그래밍에서 중요한 것 ① ‘정말 끝이 있나?’
다섯 걸음 - 프로그래밍에서 중요한 것 ② ‘계산은 적을수록 좋다’
여섯 걸음 - 정수의 답을 원하면 정수로 풀자

7장 논리와 증명의 길
한 걸음 - 일상과 비즈니스에도 다양한 수학의 논리가 있다
두 걸음 - ‘증명’은 옳다는 것을 설명하는 것
세 걸음 - ‘반례’에 민감하면 증명이 맞는지 이해하는 데 도움된다
네 걸음 - 틀린 증명을 꿰뚫어보자
다섯 걸음 - 빈틈없는 ‘조건 분기’로 모든 경우의 수를 증명한다
여섯 걸음 - 잘 다루면 매우 유용한 무기 ‘역, 이, 대우’
일곱 걸음 - ‘다른 세계’를 부정해서 증명한다, ‘귀류법’의 놀라움

맺음말

[본 문]

시속 48km로 달리는 차는 60km를 달리려면 몇 시간이 필요할까요?

이것은 ‘시간’을 구하는 문제입니다. 이때는 ‘빠를수록 시간이 덜 걸린다’는 것을 감각적으로 알아야 합니다. 60km를 시속 60km로 달리면 당연히 1시간 걸립니다. 2배의 속도인 시속 120km로 달리면 0.5시간 (30분)이 걸리겠죠. 이 관계를 알면 성가신 숫자가 나오더라도 망설일 필요 없이 ‘거리를 속도로 나누면 시간을 구할 수 있다’는 것을 깨닫게 됩니다. 이것이 바로 문제를 공식화하는 것입니다. 60 ÷ 48= ?
이런 식이 어떻게 나왔는지 모르겠다면, ‘시속 60km보다 느린 시속 48km로 달리고 있으니 1시간 이상은 걸리겠지?’라고 생각했다면 ‘일까 일까’를 고민할 필요 없이 자신 있게 ’이라는 답을 얻을 수 있을 겁니다.
제1장 수의 길, 38p

① 50x = 1000 ② 6x + 24 = 4x + 80

이것은 ‘두 걸음’에서 다룬 문제입니다. ①은 ‘50에 무엇을 곱하면 1000이 될까’를 나타낸 식입니다. 이 식의 양변을 50으로 나누면 ‘모르는 수 x’를 곧바로 알 수 있습니다. 그러므로 ‘x =1000÷50’이 되고 ‘x = 20’이라는 답이 나옵니다. x의 몇 배에 해당하는 50x의 ‘50’이라는 부분을 ‘계수’라고 합니다. 이를 50으로 나눠서 1로 만들어버린 것입니다. ‘50÷50 = 1’이니까요. 그러면 ‘x = ’ 형태가 됩니다.
①은 이렇게 풀면 되지만 ②에서는 식의 형태가 달라서 그대로 적용할 수 없습니다.
그렇다면 어떻게 해결하면 좋을까요? 저는 어머니에게 배운 ‘천칭의 마음’을 담아두고 있습니다. ②를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

제2장 방정식의 길, 75~76p


지금부터 설명할 아름다운 ‘피타고라스의 정리’ 또한 그렇습니다. 이 공식은 길이를 알아내는 데 효과적인 ‘무기’입니다. 하지만 증명하는 데에는 역시 도형의 성질이 도움이 됩니다. ‘서장’에서 다룬 대로 피타고라스의 정리는 직각삼각형 변의 길이들의 관계를 나타내는 식입니다.
저는 이 그림이 아름답다고 생각합니다. 그 이유는 중점연결정리나 원주각의 정리처럼 증명은 어렵지만, 직관적이기 때문입니다. 그러니까 이들 공식은 왠지 맞아 보입니다. 하지만 피타고라스의 정리는 ‘이게 어떻게 성립하지?’라고 먼저 놀라움을 느낍니다. 저만 아름답다고 생각할 수도 있지만요.
수학의 역사에서 이 정리가 어떻게 생겨났는지에 대한 설이 많습니다. 하지만 ‘32 + 42 = 52’와 같은 관계가 성립하는 수가 있고, 이 관계가 성립하는 수라면 직각삼각형을 만들 수 있다는 사실을 공공연히 알고 있었던 것이 아니냐는 설이 있습니다.

제4장 도형의 길, 187p


A씨는 자녀가 2명 있습니다. A씨는 남자아이가 있냐는 질문에 있다고만 대답했습니다. 그렇다면 2명 모두 남자아이일 확률은?

실제로 남자가 태어날 확률과 여자가 태어날 확률은 같지 않습니다. 하지만 이번에는 같다고 가정하고 문제를 풀겠습니다. 앞에서 풀어본 문제보다 어렵습니다. ‘여섯 걸음’에서도 다루겠지만, 이 문제는 조건부확률이라 하여 ‘2명 중 1명은 남자’라는 조건이 있습니다. 이 조건 하에서 남은 1명도 남자일 확률을 구하는 문제이므로 함정이 있습니다. 1명은 남자이므로 ‘남·남’, ‘남·여’가 나올 확률은 모두 같을까요? 그렇다면 50%입니다. 하지만 답은 아닙니다. 동전 문제처럼 ‘여·남’ 패턴도 있습니다.
출생 순서를 매기자면 누나와 동생, 오빠와 여동생도 같은 경우의 수입니다. 동전 던지기와 비슷한 패턴의 문제이니 25%가 답인가 싶지만, 아닙니다. 확률을 정하는 조건에 따르면 ‘여·여’의 가능성은 없기 때문입니다. 그러므로 이 문제에서 나올 수 있는 경우의 수는 ‘남·남’, ‘남·여’, ‘여·남’입니다. 이 중에서 2명 모두 남자일 확률을 구해야 하므로 약 33%가 정답입니다.

제5장 확률의 길, 207~208p


역 : ‘20세 이상이면, 술을 마신다.’
이 : ‘술을 마시지 않는다면, 20세 미만이다.’
대우 : ‘20세 미만이면, 술을 마시지 않는다.’

이것이 ‘역, 이, 대우’입니다. ‘역’은 주장의 앞과 뒤가 뒤바뀐 문장입니다. ‘이’는 문장의 앞뒤는 그대로이지만 모두 부정형입니다. ‘대우’는 ‘역’과 ‘이’가 합쳐진 모양입니다. 앞뒤가 바뀌고 문장도 부정형으로 바뀌었습니다. 그렇다면 3가지 논리 중에서 옳은 주장은 무엇일까요?
먼저 ‘역’은 옳지 않습니다. 저는 현재 26세이지만 술을 마시지 않습니다. 그렇다면 ‘이’는 어떨까요? 저는 술을 마시지 않지만 20세 미만이 아니므로 틀린 논리입니다. 마지막으로 ‘대우’는 옳습니다. 법률을 위반하지 않는다는 가정하에서 말입니다. 이와 같이 ‘대우’는 원래 주장과 일치합니다. 하지만 ‘역’과 ‘이’는 꼭 그렇지 않습니다. 그러므로 원래 주장이 틀렸다면 ‘대우’도 틀리지만 ‘역’과 ‘이’는 옳을 수도 있습니다.
7장 논리와 증명의 길, 277~278p