현대 수학의 기초

이 책에서는 집합론의 기본개념이 되는 내용들을 비교적 상세하게 다뤘다. 또한 증명의 스케치 부분을 만들어 독자가 스케치를 해보는 습관을 들이도록 해두었다. 독자들에게 직관적인 사고의 기틀을 만들기 위해 다음과 같은 내용들을 실었다. 제1장 ‘논리의 기초’ 편에서는 앞으로 여러 정리들을 증명해가는 과정의 각 단계마다 정당성을 확보해가는 방법 및 원리를 이해하기 위해 필요한 최소한의 기본논리를 소개한다. 제2장 ‘집합의 개념’ 편에서는 집합, 부분집합 그리고 집합연산을 다루는 기본적인 규칙들을 알아보고 이것들을 토대로 하여 첨자붙은 집합에 일반화시켜 여러가지 성질들을 다루었다. 제3장 ‘관계와 함수’ 편에서는 현대 수학 분야에서 중요한 역할을 하는 관계, 동치관계와 분할 그리고 함수를 소개하고 그것들의 관련성에 관에 상세하게 다루었다. 제4장 ‘가부번집합과 비가부번집합’ 편에서는 데데킨트(Dedekind)의 정의를 이용하여 유한집합과 무한집합의 성질을 다루고 가부번집합과 비가부번집합의 성질 및 예를 통하여 각 개념들을 쉽게 이해하도록 구성하였다. 제5장 ‘기수’ 편에서는 일상생활에서 사용해 온 개수의 의미를 공리론적 접근방법을 통하여 일반적인 집합의 기수와 연산에 관하여 정의하고, 여러 성질들을 규명하여 기수 개념의 이해를 높이도록 구성하였다. 제6장 ‘순서수’ 편에서는 순서에 대한 의미를 공리론적 접근방법을 통하여 정렬집합 및 순서수에 대한 연산을 정의하고 다양한 성질들을 통하여 순서수의 개념을 이해하도록 하였다. 제7장 ‘선택공리 및 선택공리와 동치인 정리’ 편에서는 선택공리와 동치인 정리들을 수록하여 집합론의 논리공백을 채우는데 역할을 하도록 하였다.

◆ 머리말 01. 논리의 기초 1.1 명제와 논리연산 1.2 항진, 항위, 함의, 동치와 기본 논리 법칙 1.3 연역적 추론 증명법 및 여러 증명법 1.4 논증의 정당성 검증 방법 1.5 명제함수와 한정기호 02. 집합의 개념 2.1 집합, 부분집합 그리고 집합의 상등 2.2 집합의 연산과 성질 2.3 데카르트 곱 2.4 첨자붙은 집합족의 연산 및 성질 03. 관계와 함수 3.1 관계 3.2 동치관계와 분할 3.3 함수의 정의 및 기본 개념 3.4 여러 가지 함수 3.5 합성함수 04. 가부번집합과 비가부번집합 4.1 유한집합과 무한집합 4.2 대등인 집합 4.3 가부번집합 및 가산집합 4.4 비가부번집합 05. 기수 5.1 기수의 공리 5.2 기수의 대소 비교 및 멱집합의 기수 비교 5.3 기수의 연산 5.4 연속체가설 문제와 역사적 흐름 06. 순서수 6.1 순서 개념 6.2 정렬집합 6.3 순서수의 공리 6.4 순서수의 순서 비교 6.5 순서수의 연산 07. 선택공리 및 선택공리와 동치인 정리 7.1 선택공리 7.2 선택공리와 동치인 정리 ◆ 부록: 아스키 코드표 ◆ 참고 문헌 ◆ 찾아보기