알기 쉬운 현대대수학

수학은 수(數, numbers)를 다루고 연구하는 학문이다. 영어의 algebra는 al-jabr라는 아라비아어에서 유래하였으며, 이는 방정식(方程式)의 계산을 뜻한다. 우리가 사용하는 대수학(代數學)은 중국어로, 숫자를 대신하여 문자 또는 기호를 써서 나타내는 학문으로서 중국의 가장 오래된 책 《구장산술》제8장 방정식 이론인 방정(方程)에서 유래를 찾아볼 수 있다. 정수, 유리수, 실수, 복소수체계의 특성을 바탕으로, 대수학은 공이 아닌 집합상에서 이항연산의 법칙을 다루는 추상적인 수학적 체계를 의미한다. 어쨌든 방정식을 계산하는 것이 이 분야의 출발점이었으나, 지금까지의 대수학은 그것에 그치지 않고 여러 가지 부류의 대수학 및 응용수학 분야로 세분화되고 발전하였으며, 과학 및 수학계 전반의 기초 역할을 하고 있다. 따라서 수학은 모든 과학의 여왕이며, 대수학은 모든 수학의 여왕이라고 일컬어지고 있다. 요즘 21세기가 도래함에 따라 전산학의 발전과 정보화 및 인터넷의 발달로 시대가 변천하고 있으며, 교육 및 강의도 e-러닝 수업 및 사이버 수업으로 진행하는 경우가 점차 많아지고 있다. On Line 및 Off Line 수업을 권장한다. 정수론과 선형대수학을 수강한 학부생들이나 대학원생들이 대수학의 기초지식을 터득하기에 적합하도록 이 책을 저술하였다. 이 책의 구조는 현대대수학의 기본이 되는 군론, 환론, 체론 및 갈루아 이론으로 구성되어 있다. 제1장에는 명제, 집합 및 함수의 개념을 다루고, 제2장에서는 군의 기본개념, 군의 성질, 부분군, 순환군, 잉여류의 개념, 정규부분군, 군 준동형사상, 군 동형사상 등을 공부하고, 제3장은 군의 작용, 실로우(Sylow)정리를 취급한다. 제4장에서는 추상대수학에 필요한 환론을 바탕으로 환, 이데알, 환준 동형 사상, 환 동형 사상, 소이데알, 극대이데알, 정역과 분수체, 다항식 환에 관한 이론을 공부한다. 제5장과 제6장에서는 체론 및 갈루아 이론을 다루었다. 특히 제5장에서는 확대체, 단순확대체, 대수적 확대체, 분해체, 분리확대체, 정규확대체, 유한체를 취급하고, 제6장에서는 갈루아 군, 갈루아 확대체, 갈루아 이론의 기본정리를 다루었다.

CHAPTER 1 기초사항 1 1.1 명제, 집합 2 1.2 함수의 개념 9 CHAPTER 2 군 론 17 2.1 군의 기본개념 18 2.2 군의 기본성질 25 2.3 부분군, 순환군 33 2.4 라그랑주 정리 43 2.5 정규 부분군, 치환군 53 2.6 군 준동형사상, 군 동형정리 63 2.7 직적, 직합 78 2.8 정규화 부분군, 류등식 88 2.9 자기 동형사상 98 CHAPTER 3 군의 작용, 실로우 정리 103 3.1 군의 작용 104 3.2 실로우 정리 112 3.3 교환자군, 가해군 117 CHAPTER 4 환 론 127 4.1 환, 이데알 128 4.2 환 준동형사상, 환동형사상 141 4.3 소이데알, 극대이데알, 직합 148 4.4 정역, 분수체 158 4.5 다항식환 171 CHAPTER 5 체 론 185 5.1 확대체, 단순확대체 186 5.2 대수적 확대체 193 5.3 분해체, 대수적 폐체 197 5.4 분리확대체, 정규확대체 208 5.5 유한체 215 5.6 작도가능성 225 CHAPTER 6 갈루아 이론 233 6.1 갈루아군 및 갈루아 확대체 234 6.2 갈루아이론의 기본정리, 가해성 245 CHAPTER X 선정된 해답 257 ■ 참고문헌 292 ■ 찾아보기 293