수학교사를 위한 현대대수학

대수학이란 여러 가지 연산들에 대한 대수적 체계(Algebraic Systems)에서 불변인 성질들(Invariants)을 연역적으로 규명하는 학문이라 할 수 있다. 학생들이 현대대수학을 배울 때 어렵게 느끼는 것은 이 학문적 특성에 기인한바 크다고 생각한다. 오랜 기간 대학에서 현대대수학을 강의하면서 명료한 이론 전개와 적절한 예제와 풍부한 연습문제들을 제공하는 잘 정돈된 교재를 구상해 왔다. 최근 김남우 사장으로부터 출판 제의를 받고 기존 강의 해 온 현대대수학의 내용을 군, 환, 체, 3부로 대별하여, 새롭게 수학교사를 위한 현대대수학을 간행하게 되었다. 군 영역에서 중요한 내용은, 부분군의 판정법, 케일리 정리, 동형사상의 정리, 라그랑쥐 정리, 궤도-스테빌라이저 정리, 반직적 정리, 준동형사상에 의한 부분군의 대응규칙, 군 동형사상정리, 유한가환군의 기본정리, 류등식, 실로우정리 등이다. 환 영역에서 중요한 내용은, 부분환의 판정법, 상환의 존재성, 환준동형사상의 성질, 환의 동형정리, 의 나눗셈 알고리즘, 아이센쉬타인 판정법, 에서의 유일인수분해 등이다. 체 영역에서 중요한 내용은, 체이론의 기본정리, 분해체의 존재성, 중복근에 대한 판정법, 유한확대이면 대수적확대이다, 원시근정리, 유한체의 구조, 유한체의 부분체, 작도가능한 수, 갈루아이론의 기본정리, 5차방정정식의 불가해성, 원분다항식의 기약성 등이다. 특별이 이 책에서는 군 영역에서 실로우정리(Sylow Theorems)와 군의 반직적(Semidirect product) 내용과 환 영역에서 유크리드 정역에 대한 보충과 체 영역에서는 작도가능한 수에 대한 필요충분조건과 체의 갈루아정리(Galois Theorem)의 증명과 사례에 대한 논의를 추가했다. 각 장의 연습문제들의 풀이를 알기 쉽게 자세히 정리했으며, 지난 수년간 출제된 중등교사 임용고사 현대대수학 분야의 문제와 그 풀이를 관련 단원의 연습문제에 수록했다. 이 책은 대학에서 두 학기에 걸처 학생들을 가르치면 적절하다고 생각하며, 각장의 연습문제들의 풀이는 다양한 풀이 방법을 논의하는 하나의 참고자료가 되기를 바란다. 또한, 대학원 진학이나 임용고사 준비하는 경우는 각 단원의 정리들과 예제를 중심으로 공부하고 연습문제풀이를 해보기 바란다. 다만 저자의 능력부족으로 미비한 점에 대해서는 독자 여러분들의 제언과 충고에 귀 기울려 더 좋은 책으로 만들어 가려고 한다. 끝으로 이 책의 출판을 위해 힘써 주신 출판사 여러분께 감사하며. 뒤에서 도움을 아끼지 않은 부인 김영희께 감사의 말을 전한다.

1부. 군(Groups) 1장. 군(Groups) 2장. 유한군; 부분군(Finite Groups; Subgroups) 3장. 순환군(Cyclic Groups) 4장. 치환군(Permutation Groups) 5장. 동형사상(Isomorphisms) 6장. 잉여류와 라그랑쥐 정리(Cosets and Lagrange's theorem) 7장. 외직적(External Direct Products) 8장. 정규부분군과 잉여군(Normal Subgroups and Factor Groups) 9장. 군 준동형사상(Group Homomorphisms) 10장. 유한가환군의 기본정리(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 11장. 실로우 정리(Sylow Theorems) 2부. 환(Rings) 12장. 환의 소개(Introduction to Rings) 13장. 정역(Integral Domains) 14장. 이데알과 상환(Ideals and Factor Rings) 15장. 환의 준동형사상(Ring Homomorphisms) 16장. 다항식환(Polynomial Rings) 17장. 다항식의 인수분해(Factorization of Polynomials) 18장. 정역의 나눗셈(Divisibility in Integral Domains) 3부. 체(Fields) 19장. 확대체(Extension Fields) 20장. 대수적 확대체(Algebraic Extensions) 21장. 유한체(Finite Fields) 22장. 기하작도(Geometric Constructions) 23장. 갈루아 이론의 기초(An Introduction to Galois Theory) 24장. 원분 확대체(Cyclotomic Extensions) ▶ 연습문제 풀이 ▶ 찾아보기(용어)