중학생의 함수는 다르다 - 함수가 쉬워지는 그래프의 힘

중학생의 최대 고민 함수,

초등학생도 풀 만큼 쉽게 알려 주마!

어떻게? 그래프를 그릴 줄 알면 된다!

 

중학교 함수를 쉽게 알려 주는 책입니다.

고등학교 수학과 가장 많이 연결되는 분야는 단연 함수입니다. 그만큼 함수는 중요합니다. 그런데도 많은 중학생 친구들이 중학교 함수를 어려워하거나 정확히 이해하지 못합니다. 제대로 배우고 있지 못하기 때문이지요.

이 책의 저자는 13년 경력의 현직 중학교 수학 교사입니다. 그는 중학교 함수를 공부할 때 꼭 가져야 할 두 가지가 있다고 설명합니다. 바로 그래프를 볼 줄 아는 눈과 그릴 줄 아는 손입니다. 하지만 교과서에서조차 그래프를 별로 다루지 않고, 함수를 수식으로 접근합니다. 이 책의 문제의식은 여기에서 출발합니다. 함수를 공부할 때 가장 중요함에도 불구하고 가장 소홀히 다루어지고 있는 ‘그래프’에 주목했습니다.

이 책은 교과서에 있는 중학교 함수의 개념과 내용을, 좀 더 이해하기 쉬운 방법으로 새롭게 다룹니다. 함수를 배우기 위해 꼭 알아야 하는 수직선과 좌표평면 등 중1 과정도 꼼꼼하게 실었습니다. 또한 그래프를 직접 그려 볼 수 있는 문제들을 실어서 눈과 손을 단련시켜 줍니다.

함수가 그렇게 어렵게 느껴지는 이유는 내 머리가 나빠서도, 함수가 너무 어려워서도 아닙니다. 공부하는 법이 잘못되었기 때문입니다. 이제부터라도 좀 더 이해하기 쉬운 방법으로 함수를 배워야 합니다. 함수를 그래프로 공부하고, 그래프를 그리는 능력을 키우면 중학교 함수를 더 잘 이해할 수 있습니다. 이는 고등학교 수학을 잡는 힘이 되어 줄 것입니다. 함수를 함수답게 경험하면, 더 이상 함수 때문에 헤맬 일은 없습니다.

중학생뿐만 아니라 중학교 함수를 선행하는 초등학생과 후행이 필요한 고등학생에게도 권장합니다. 또한 함수를 어떻게 가르치는 것이 좋을지 창의적인 아이디어가 필요한 선생님들에게도 적극 추천합니다.

 

[목 차]

들어가는 말: 함수를 함수답게 배워 보자

 

1 좌표평면과 그래프 (중1 과정)

∷ 수의 ‘위치’를 어떻게 나타낼 수 있을까?

∷ 직선 위에 있는 점의 위치를 표현하는 방법

∷ 왜 좌표평면을 만들었을까?

∷ 평면 위에 있는 점의 위치를 나타내는 방법

∷ 좌표평면을 사분면으로 나누는 이유

∷ 좌표평면을 그리고 좌표 나타내기

∷ 좌표평면 위의 도형의 넓이를 구해 보자

∷ 관계를 좌표평면 위에 나타내기

∷ 다양한 상황을 그래프로 표현하기

∷ 다양한 그래프를 해석해 보기

∷ 대응과 변화의 결정적인 차이

∷ 정비례: 변화에 초점을 맞추면 보이는 관계

∷ 정비례 관계를 그래프로 나타내기

∷ 정비례 관계의 그래프를 직접 그려 보자

∷ 반비례의 정확한 뜻

∷ 반비례 관계를 그래프로 나타내면?

∷ 관계식을 구하지 않고 문제를 푸는 법

 

2 곧게 뻗은 일차함수 (중2 과정)

∷ 그래서 함수가 뭐예요?

∷ 함수의 기호와 함숫값

∷ 일차함수의 일차가 무슨 뜻일까?

∷ 일차함수의 그래프는 어떤 모양일까?

∷ 일차함수의 그래프는 기울어져 있다

∷ 기울기를 보고 y=ax의 그래프를 그려 보자

∷ 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기는?

∷ 그래프만 있고 기울기가 없을 때 1

∷ 그래프만 있고 기울기가 없을 때 2

∷ 기울기를 구할 때 그래프를 이용해야 하는 이유

∷ 일차함수의 그래프에서 절편을 구해 보자

∷ 일차함수 y=ax+b의 그래프를 그려 보자

∷ 일차함수의 식을 구해 보자 1: 기울기와 y절편이 주어졌을 때

∷ 일차함수의 식을 구해 보자 2: 기울기와 한 점이 주어졌을 때

∷ 일차함수의 식을 구해 보자 3: 서로 다른 두 점이 주어졌을 때

∷ 일차함수의 식을 구해 보자 4: x절편과 y절편이 주어졌을 때

∷ 일차함수의 활용 1: 일차방정식을 그래프로 나타내기

∷ 일차함수의 활용 2: 연립방정식의 해 표현하기

 

3 빗살무늬토기 모양의 이차함수 (중3 과정)

∷ 이차함수란 무엇일까?

∷ 이차함수의 그래프는 왜 그렇게 생겼을까

∷ 포물선, 축, 꼭짓점

∷ 변화의 관점으로 본 이차함수

∷ 이차함수 그래프의 위치를 나타내는 방법

∷ 이차함수의 최댓값과 최솟값

∷ y=a(x–p)2+q의 꼭짓점의 좌표를 구하는 법

∷ 이차함수 그래프의 폭에 대하여 1

∷ 이차함수 그래프의 폭에 대하여 2

∷ 이차함수 y=ax2의 그래프를 평행이동하는 방법

∷ 이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프는 어떻게 그릴까

∷ 꼭짓점의 좌표 구하기 1: y=x2+bx+c

∷ 꼭짓점의 좌표 구하기 2: y=1/nx2+bx+c

∷ 꼭짓점의 좌표 구하기 3: y=ax2+bx+c

∷ 꼭짓점의 좌표를 구하는 또 다른 방법

∷ y=ax2+bx+c라는 식 자체로 그래프를 파악하는 법

∷ 이차함수도 그래프가 중요하다

 

정답과 설명



[본 문]

많은 친구들이 중학교 함수를 어려워하는 이유가 무엇일까? 중학교 함수를 쉽게 해결했다고 생각한 친구들이 고등학교에 올라가서 갑자기 고전하는 이유가 무엇일까? 이런 고민에 대한 결과물이 바로 이 책입니다. 이 책은 중학생이 중학교 함수를 제대로 이해하도록 돕기 위해 세상에 나왔습니다.

-4쪽 ‘들어가는 말’ 중에서

 

초등학교와 중학교의 가장 큰 차이는 ‘대응’이라는 단어가 사라진 거예요. 중학교에서는 대응이라는 표현 대신 변화에 초점을 맞춥니다. (...) 대응은 부분 부분으로 표를 봤다면, 변화는 표 전체를 본다고 생각하면 돼요. 그동안 나무를 봤다면 이제부터 숲을 본다고 생각합시다.

이 차이는 매우 중요해요. 중학교 내내, 함수라는 것을 어떻게 바라봐야 할 것인가에 대한 이야기니까요. 하지만 교과서나 문제집 어디에서도 이런 차이를 설명하지 않아요. 앞으로 배울 함수를 이제부터 ‘변화하는 두 양 사이의 관계’라고 이해합시다.

함수의 핵심은 변화의 관계입니다. 이것을 알고 함수를 배우는 것과 모르고 배우는 것은 출발점 자체를 다르게 만들 수 있어요. 그래서 이 책에서는 초등학교 때 배운 대응을 언급할 때를 제외하고 의도적으로 대응이라는 용어를 쓰지 않아요. 이제 부분이 아닌 전체로, 대응이 아닌 변화로 수학을 보는 눈을 가져야 하니까요.

-52~53쪽 ‘대응과 변화의 결정적인 차이’ 중에서

 

그래프는 함수를 시각적으로 표현하는 도구입니다. 특히 그래프는 변화를 시각화하여 변화하는 상황을 표현하고 분석하는 데 유용해요. 따라서 함수를 그래프로 나타내는 것은 매우 중요합니다.

하지만 중학교 함수에서는 아쉽게도 그래프를 이용하지 않고도 문제가 해결되는 경우가 많아요. 단순하게 함수의 관계식에 좌표를 대입하거나, 함수식의 문자에 대응하는 수를 넣어 답을 찾아요. 함수가 단순히 식의 계산이 되는 거죠. 이것이 가능한 이유는, 중학교에서 다루는 일차함수와 이차함수는 함수식이 복잡하지 않기 때문이에요. 식으로만 해결이 가능하거든요.

중학교에서는 당장 큰 어려움이 없지만, 함수를 그래프로 바라보는 연습이 부족하면 고등학교에 올라가 힘들 수 있어요. 실제로 고등학교에서는 삼차함수, 사차함수에 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 정말 다양한 함수를 배우고요. 함수를 가지고 미분과 적분까지 합니다. 고등학교 함수는 그래프를 보고 다루는 능력이 필수라는 뜻이에요.

따라서 중학교 때부터 그래프를 그리며 함수를 그래프로 해석하고 분석하는 능력을 키워야 합니다. 의도적으로 말이죠.

-118쪽 ‘기울기를 구할 때 그래프를 이용해야 하는 이유’ 중에서

 

이차함수의 그래프는 위로 볼록하거나 아래로 볼록해요. 아래로 볼록하면 함숫값 중 가장 작은 것이 있을 것이고, 위로 볼록하면 함숫값 중 가장 큰 것이 있겠지요. 참고로 이 내용은 2022 개정 교육과정부터 적용되므로 2025년도에 중학교 1학년이 되는 학생들부터 배우게 돼요. 하지만, 이차함수를 다루는 이 책만의 새로운 흐름에 꼭 필요한 내용이니 반드시 이해합시다.

-174쪽 ‘이차함수의 최댓값과 최솟값’ 중에서

 

공부를 열심히 한 친구들은 이 방법보다 교과서의 방법이 훨씬 편하다고 생각할 수 있어요. 하지만 혹시, 그저 익숙해져서 그런 건 아닐까요? 이 방법도 여러 번 쓴 후 비교해 봐도 좋을 것 같아요. 똑같은 주제에 대해 다양한 접근 방법을 익히는 것은, 그 주제를 더 깊이 이해하는 데 도움이 되니까요. 이것뿐만 아니라 이 책에서 소개한 다양한 방법들 역시 마찬가지예요. 여러 번 써 보고, 직접 비교해 보세요.

-216쪽 ‘꼭짓점의 좌표를 구하는 또 다른 방법’ 중에서