리만이 들려주는 적분 1 이야기(NEW 수학자가 들려주는 수학 이야기 66)

적분의 정의부터 카발리에리의 원리와 리만 가설까지

심오한 적분 세계의 비밀이 7시간 안에 풀린다!

적분의 필요성과 적분 기호 인티그럴 속에 담겨 있는 적분의 의미뿐 아니라, 네모난 피자와 동그란 피자 중 어느 것이 더 넓은지, 포물선의 넓이는 어떻게 구하는지, 적분 기호는 어떻게 만들어졌으며, 카발리에리 원리란 무엇인지에 대해 실생활과 접목시켜 그림책을 보듯 생생하게 담아내고 있다.

 

복잡한 계산법 없이, 미분을 통하지 않고도 적분이 고수가 될 수 있다!

‘적분 기호 인티그럴 ∫은 어떻게 탄생했을까?

드럼통 안의 포도주 부피는 어떻게 구할까?’

어떤 학문을 공부할 때는 그 학문을 능숙하게 다루는 것도 중요하지만 그 학문이 등장하게 된 배경이나 필요성을 아는 것도 중요하다. 이는 배우고자 하는 학문을 거부감 없이 대할 수 있는 여건을 마련하고, 학습의 동기를 부여한다. 또한 적분 속에 담긴 수학자들의 노력을 체험하고, 그들의 발자취를 따라 함께 공부함으로써 수학에 담겨진 자연의 이치를 알 수 있다.

이 책에 적분의 계산법은 등장하지 않는다. 간혹 수업을 위해 계산이 등장하기는 하지만 수업을 이끌어 가는 보조 도구로 제한하였다. 계산보다는 적분 속에 담긴 수학자들의 고민과 문제 해결 과정을 알아보는 데 더 중점을 두었다. 특히 ‘도형의 넓이 구하기’를 통해 적분이 등장할 수밖에 없었던 배경을 설명하였다. 그리고 적분이 어느 시대에 갑자기 등장한 천재들의 작품이 아니라 수많은 수학자의 고민과 수학적 문제 해결 기법의 발전에 따른 역사적 산출물임을 느낄 수 있도록 하였다. 그 때문에 일곱 번의 수업 대부분은 수학 지식이 많이 없어도 쉽게 이해할 수 있도록 되어 있다. 함수와 그래프의 지식이 없다면 다소 어려울지 모르는 부분도 있지만 적분을 설명하는 데 필수적인 수학 도구는 예를 통해 직관적으로 알 수 있을 것이다. 마지막으로 리만이 체계적으로 개선한 ‘리만 적분’을 설명하고 있기 때문에 미분을 배우지 않고도 적분에 접근할 수 있도록 진행하였다.

 

▶이 책의 구성 및 장점

―초등학생에게는 ‘적분’ 하면 매우 어려운 수학 주제라고 알고 있지만, 실은 도형의 내부 넓이를 구하려는 소박한 열망에서 시작되었다. 수학자들이 단순히 하늘에서 영감을 받아 그들만의 학문을 만든 것이 아니라, 생활에서 필요한 수학적 풀이법 중 하나로 적분이 등장했음을 보여 줌으로써, 수학을 바라보는 시각을 긍정적으로 변화시킬 수 있다.

―초중학생에게는 수학 이론 중 가장 유명한 미적분학을 소개하여 고등학교 교과 과정의 일면을 엿볼 수 있게 하였다. 나아가 적분을 선행 학습하는 기회가 될 것이다.

―고등학생에게는 적분의 탄생 과정을 역사적으로 살펴볼 수 있는 기회가 되어 함수와 그래프에 대한 활용 능력을 키우고 나아가 수학이 발전해 온 과정을 이해함으로써 수학에 대한 거부감을 줄일 수 있게 했다. 특히 미분과 연계하여 정리하지 않았기 때문에 미분을 모르더라도 적분의 기초와 그 의미를 학습할 수 있도록 하였다.

―학교에서 적분을 배우는 순서와는 다른 접근 방법으로 적분을 다루었기 때문에 이공계를 진학하려는 고등학생은 적분이 갖고 있는 의미를 새롭게 학습할 수 있다. 단순한 계산 이면에 숨어 있는 적분의 본질과 의미를 깨우칠 수 있어 교과 학습에 흥미를 가지게 된다.