선형대수의 이해-제2판

머리말

고대 수학자인 피타고라스는 만물의 근원이 수라고 주장하였다. 비록 그의 사상은 정수 중심의 수 체계에 머물러 있었으나, 2500여 년이 지난 오늘날 우리는 과학과 수학의 발전 속에서 “세상의 거의 모든 문제는 수학으로 표현되고 분석될 수 있는 시대” 즉 4차 산업혁명 시대에 살고 있다. 인공지능, 기계학습, 빅데이터, 생명정보학, 로봇공학 등 다양한 기술이 산업, 사회, 문화 전반에 걸쳐 활용되고 있으며, 이 모든 변화의 중심에는 현실을 수학적 언어로 모델링하고 구조화하는 과정이 존재한다.

그중에서도 선형대수학은 현대 수학적 모델링의 출발점이자, 인공지능과 데이터 분석에서 가장 기본이 되는 이론이다. 인공지능에서 데이터를 표현할 때 하나의 데이터는 벡터(vector)로, 여러 개의 데이터는 행렬(matrix)로 표현된다. 신경망의 학습 과정 또한 결국 행렬과 벡터의 곱, 선형변환(linear transformation)의 반복으로 이루어져 있으며, 이러한 연산은 고차원 데이터를 이해하고 구조를 파악하는 핵심적인 도구가 된다. 즉, 벡터, 행렬, 선형결합, 고윳값과 고유벡터는 인공지능의 내부 구조를 이해하는 데 필요한 가장 기본적인 수학적 언어라고 할 수 있다.

따라서 선형대수학은 더 이상 단순한 이론 학문이 아니라, 자연과학 · 공학 · 경제학 · 사회과학 · 경영학 등 다양한 학문 분야를 유기적으로 연결하는 핵심 기반 학문으로 자리잡았다. 이러한 시대적 변화에 따라 교육과정에서도 그 중요성이 점점 더 강조되고 있다.

이에 본 교재는 기초 이론의 충실한 전달을 기본으로 하면서, 인공지능 시대의 학문적 요구와 학습자의 사고 흐름에 부합하는 방향으로 전면 개편하였다. 특히, 학습자가 선형대수학의 개념을 보다 직관적이고 체계적으로 이해할 수 있도록 개념 간의 연계성을 강화하고, 학습 순서를 논리적으로 재구성하였다. 또한 각 장에서는 핵심 이론의 명확한 전개와 함께 풍부한 예제 및 응용 사례를 제시하여, 선형대수학이 실제 문제 해결 과정에서 어떻게 활용되는지를 자연스럽게 체득할 수 있도록 하였다. 이를 통해 학습자는 단순한 계산능력을 넘어, 논리적 사고력과 응용력을 함께 함양할 수 있을 것이다.

각 장의 구성은 다음과 같다.

1장에서는 행렬의 정의와 행렬의 덧셈, 곱셈, 전치, 역행렬 등 기본적인 연산을 학습하고, 행렬이 수학적 구조를 표현하는 데 사용되는 방법을 다룬다.

2장에서는 벡터의 개념과 벡터 연산, 선형결합을 학습하며, 벡터들의 집합이 대수적 구조를 갖는 과정을 이해한다.

3장에서는 행렬과 벡터의 개념을 바탕으로 연립일차방정식의 해법을 다룬다. 가우스 소거법, 해의 존재성, 해공간의 구조 등을 학습한다.

4장에서는 행렬식의 정의와 기본 성질, 여인수 전개 등을 다루며, 행렬식이 역행렬, 선형독립성 등과 어떻게 연결되는지를 설명한다.

5장에서는 유클리드 벡터공간을 중심으로 일반적인 벡터공간, 부분공간, 행공간, 열공간, 영공간의 개념과 기저 및 차원 등을 다룬다.

6장에서는 고유값, 고유벡터, 고유공간의 의미를 설명하고, 이를 이용하여 행렬의 대각화 과정을 학습한다.

7장에서는 벡터공간들 사이의 선형변환을 정의하며, 선형변환과 행렬의 대응관계를 통해 추상적인 개념을 구체화한다.

8장에서는 내적공간의 정의, 정규직교기저, 그람 - 슈미트 정규화 과정을 통해 유클리드 공간의 직교 구조를 일반 벡터공간으로 확장한다.

이 책은 수학을 전공하지 않은 학생들도 선형대수학의 핵심 개념을 부담 없이 익히고, 논리적 사고와 문제 해결 능력을 기를 수 있도록 구성되었다. 아무쪼록 책을 통해 독자 여러분들이 공부하는 데 큰 도움이 되기를 바라며, 출간 이후 수정 및 보완 사항은 자유아카데미 홈페이지(www.freeaca.com) 자료실에 제공할 예정이니 참고하기를 바란다. 끝으로, 책의 출간을 위해 수고해주신 모든 분들께 감사드린다.