수학이 쉬워지는 최소한의 세계사 - 알고리즘, 정규분포, 게임 이론까지 역사를 움직인 18가지 수학 개념

고대 그리스 전쟁부터 르네상스, 프랑스 혁명, 세계대전까지

역사가 바뀌는 순간에는 언제나 수학이 있었다!

 

“세상을 이해하는 데 수학이 얼마나 유용한지

일깨워주는 훌륭한 안내서”

★★ 김재경(KAIST 수리과학과 교수)

 

“한 편의 드라마와 같은 역사적 순간들을 통해

수학을 쉽게 풀어내는 책”

★★ 궤도(과학 커뮤니케이터)

 

- 제2차 세계대전을 조기 종식시킨 영웅은 수학자였다?

- 핵전쟁을 막아낸 수학 이론이 있다?

- 장기 이식에 사용되는 매칭 이론은 결혼 상대를 찾는 수학 공식에서 시작되었다?

- 주가 변동을 예측하는 수학 방정식이 있다?

 

수학이 어떻게 세상을 바꾸어왔는지를 굵직한 세계사적 사건을 통해 흥미진진하게 풀어내는 역사×수학 드라마. 수식을 최소화하고 역사 이야기 속에 자연스럽게 수학적 개념을 녹여내어 수포자, 문과생이라도 쉽고 재미있게 수학에 다가갈 수 있는 책이다. 뛰어난 천재성 때문에 아버지의 질투를 받으면서도 수학, 경제학, 유체역학 등에 놀라운 업적을 남긴 다니엘 베르누이, 나치 독일의 에니그마 암호를 해독해 제2차 세계대전을 조기 종식시킨 영웅 앨런 튜링 등 18명의 인물과 사건, 그 과정에서 탄생한 수학 개념을 소개한다. 120여 점에 달하는 사진 자료와 수학 개념도, 도식은 이해를 친절히 돕는다. 따라서 중학생 수준의 수학 기초만 있다면 누구나 어려움 없이 이 책을 읽을 수 있다. 영화 같은 삶을 살다간 수학자의 내면을 엿보고, 굵직한 세계사 사건을 마주하다 보면 저절로 수학으로 사고하는 법을 익히게 될 것이다.

[목 차]

추천의 글

들어가며_왜 수학을 배워야 하냐고 묻는 이들에게

 

1장 기원전부터 중세까지: 수학의 기틀이 만들어지다

 

로마를 두려움에 떨게 한 수학자의 최종병기 _아르키메데스의 포물선

목욕탕에서 문제의 답을 찾아내다 | 섬 하나를 두고 충돌한 두 강대국 | 로마의 군대를 농락한 수학의 거인 | “내 원을 밟지 말게!”

 

대무역 시대에 혁명을 일으킨 숫자 체계 _피보나치의 아라비아 숫자 도입

로마 숫자의 치명적 문제 | 이슬람 문화가 발전시킨 중세 수학 | 유럽에 0이 도입되다 | 아라비아 숫자에 빛이 비추던 날

 

2장 근세: 수학이 세상을 설명하는 언어가 되다

 

돈의 흐름에 질서를 부여하다 _파치올리의 복식부기

상인을 위한 수학 교과서가 등장하다 | 가계부와 복식부기는 어떻게 다를까 | 원금이 두 배가 되는 기간을 3초 만에 계산하는 법 | 레오나르도 다빈치의 수학 스승

 

악마와 계약한 문자의 마술사 _비에트의 암호 해독

수학의 문법이 만들어지다 | 종교 때문에 추방당한 수학자 | 로마의 황제가 사용한 암호 | 비에트는 어떻게 암호를 풀었을까

 

수학으로 인간의 죽음을 예측하다 _드무아브르의 정규분포

보험 컨설팅에 뛰어든 수학자 | 초기 보험 회사들이 파산을 거듭한 이유 | 나이가 많을수록 보험료가 높아지는 공식 | 오차가 한없이 작아지는 법칙 | 세계 최초의 생명 보험 회사가 설립되다 | 자신이 죽는 날을 계산해낸 수학자

 

인간의 감각을 숫자로 표현하는 법 _베르누이의 기대효용

수학 천재들이 태어나는 가문 | 상금이 무한대인 게임에 전 재산을 걸지 않는 이유 | 아버지의 질투를 받은 아들의 비극 | 인간의 감각을 수치화할 수 있을까 | 모든 감각은 로그의 성질을 가진다

 

프랑스 혁명 전야에 발견된 다수결의 허점 _콩도르세의 역설

이성의 빛이 비추던 시대의 수학 신동 | 가장 민주적인 투표 방식을 찾아서 | 왜 다수의 결정이 더 현명할까 | 귀족이면서도 평등을 염원했던 수학자의 최후

 

3장 근대: 혼돈 속에서 질서를 찾아낸 수학

 

가장 평균적인 것이 가장 이상적이다 _케틀레의 평균

벨기에 혁명이 촉발한 호기심 | 수학으로 인간의 행동을 분석할 수 있을까 | 사회를 연구하는 수학이 시작되다

 

데이터로 인명을 구한 간호사 _나이팅게일의 그래프

간호사를 꿈꾼 수학자 | 숫자에 어두운 사람도 단번에 이해시키는 방법 | ”통계를 알면 신의 생각을 짐작할 수 있다”

 

사회는 소수의 엘리트가 지배한다 _파레토의 법칙

수학자가 사회에 관심을 가질 수밖에 없었던 이유 | 완두콩에서 사회의 법칙을 읽어내다 | 독재자의 사상적 스승이 되다

 

수적으로 불리할 때 승리를 이끌어내는 법 _란체스터의 법칙

시대를 앞서간 자동차 엔지니어 | 일대일 전투에 적용되는 제1법칙 | 원거리 무기를 사용할 때 적용되는 제2법칙 | 전력 차를 뒤집은 넬슨 제독의 전략

 

가장 높은 자리 숫자에 숨겨진 비밀 _벤포드의 법칙

무작위처럼 보이는 숫자의 비밀 | 2만 건의 데이터를 분석해낸 놀라운 끈기 | 미국 대통령 선거를 뒤흔든 벤포드의 법칙

 

나치의 암호를 해독한 컴퓨터의 아버지 _튜링의 에니그마 해독

컴퓨터의 기본 원리를 규정한 천재 | 인간의 지능으로 풀 수 없는 암호 | 에니그마가 암호를 변환하는 법 | 세계 최고의 암호를 만든 독일군의 치명적 실수 | 인공지능의 탄생을 예언하다

 

최상의 전략을 이끌어내는 수학 _폰 노이만의 게임 이론

천재들의 천재가 주목한 수학 이론 | 최악을 피하는 전략이 가장 좋은 전략이다 | 게임 이론이 탄생한 날 | 악마의 두뇌를 지닌 수학자

 

4장 현대: 수학으로 평화의 시대를 열다

 

제3차 세계대전을 막아낸 수학 이론 _내시 균형

경쟁에도 한계가 있다 | 자백할 것인가, 침묵할 것인가 | 정신 분열에 시달린 천재 수학자 | 미국과 소련이 결코 쓰지 않을 무기를 과시한 이유 | 냉전이 종식되다

 

완벽한 민주주의가 존재할 수 없는 이유 _애로의 불가능성 정리

대공황을 경험하며 남다른 통찰을 얻다 | 공정한 의사결정이 갖추어야 할 조건 | 합리적인 의사결정 방법은 존재하지 않는다 | 어떻게 해야 가장 좋은 결정을 내릴 수 있을까 | 한계 안에서 최선의 길을 찾는 법

 

최고의 결혼 상대를 찾는 법 _게일-섀플리 알고리즘

5,000킬로미터를 이어준 한 통의 편지 | 사랑의 도피가 일어나지 않는 짝을 찾아서 | 경제학자가 찾아낸 알고리즘의 쓸모

 

수학으로 주가 변동을 예측하다 _블랙-숄즈 방정식

2,600년 전에 등장한 사상 최초의 옵션거래 | 미래의 주식 가격을 예측하는 방정식 | 비틀대는 취객의 움직임을 설명하는 수학 이론 | 수학에도 한계는 있다

 

마치며 수학이 만들어갈 세계를 상상하며

[본 문]

유럽의 암흑기 동안 수학의 발전은 알콰리즈미로 대표되는 이슬람인들에 의해 이루어졌습니다. 알콰리즈미는 페르시아에서 최초로 수학책을 만든 수학자로, 인도 숫자를 아라비아에 널리 알린 수학자이기도 합니다. 우리가 수학이라고 하면 흔히 떠올리는 수학의 분과인 ‘대수학(Algebra)’이라는 명칭이 그가 쓴 저서의 제목을 따서 만들어졌으며, 문제를 푸는 단계적 절차를 의미하는 ‘알고리즘(algorithm)’이라는 단어도 그의 이름에서 유래했습니다.

_ 1장 “대무역 시대에 혁명을 일으킨 숫자 체계”

 

비에트는 어떻게 스페인의 암호를 풀어낼 수 있었을까요? 기본적인 방식은 카이사르 암호를 해독하는 과정과 비슷합니다. 스페인은 누구도 암호를 풀지 못할 것이라고 자신하고 ‘32’와 같은 숫자는 바꾸지 않고 그대로 암호문에 사용했는데, 그러한 자만심이 비에트에게 암호 해독의 힌트를 주었습니다. 전쟁 중이라는 상황을 고려하여 ‘4000’이라는 숫자 뒤에는 ‘보병’이, ‘500’ 뒤에는 ‘기병’이, ‘100000’ 뒤에는 ‘두카도’라는 화폐 단위가 올 가능성이 높다고 본 것입니다.

_ 2장 “악마와 계약한 문자의 마술사”

 

란체스터의 법칙은 트라팔가르 해전 이후 100년 이상이 지나서 정리된 것이므로 당시 넬슨 제독이 이를 수학적으로 계산해서 적용한 것은 아닙니다. 그러나 역사적으로 소수가 다수를 이긴 전투를 이끌었던 장군들은 경험과 직감에 근거하여 전체적으로는 약세일지라도 국지적으로 우위를 확보하면 승리할 수 있다는 사실을 알고 있었습니다.

_ 3장 ”수적으로 불리할 때 승리를 이끌어내는 법”

 

19세기 벨기에의 수학자 아돌프 케틀레가 평균의 중요성을 강조하기 전까지만 해도 우리 사회에서 평균값이라는 개념은 크게 중요하지 않았습니다. (…) 하지만 케틀레는 통계학을 사회학에 응용하면서 평균값이 사회 현상을 분석하는 데 중요한 지표라고 주장했습니다. 오늘날에는 비만도를 확인하는 데 주로 사용하는 체질량지수(BMI)를 최초로 만든 사람도 케틀레인데, 이 역시도 평균적인 인간의 신체 조건을 통계적으로 정의하고자 했던 시도였습니다.

_ 3장 “가장 평균적인 것이 가장 이상적이다”

 

경제 이론에서 주로 사용되는 수학적 개념으로 ‘제로섬 게임’이 있습니다. 참가자들이 얻는 결과의 합이 0이 되는 게임을 의미하는데, 참가자가 두 명이라면 한쪽이 이득을 본 만큼 다른 쪽이 손해를 보게 되어 두 사람의 손익 합계가 항상 0이 되는 게임입니다. 체스에서는 승자가 있으면 반드시 패자가 있고, 도박에서는 1,000원을 번 사람이 있으면 반드시 1,000원을 잃은 사람이 있기 마련입니다.

_ 3장 “최상의 전략을 이끌어내는 수학”

 

각 개인이 합리적으로 선택했는데도 양쪽 모두에게 바람직하지 않은 결과에 이르기 때문에 죄수의 딜레마를 사회적 딜레마라고도 부르기도 합니다. 또한 죄수의 딜레마에서 두 사람 모두가 자백하는 상황은 내시 균형이 이루어진 상태입니다. 다시 말해서 내시 균형은 단순히 참가자들이 자신에게 가장 유리한 선택을 내릴 때 형성되는 균형 상태만 의미하지는 않습니다. 더 정확히 말하면 자신이 전략을 바꾸더라도 더 높은 점수를 받을 수 없는 전략을 모든 참가자가 채택한 상황을 의미하는 것입니다. 이때는 자신만 전략을 바꾸면 오히려 손해를 보게 됩니다.

_ 4장 “제3차 세계대전을 막아낸 수학 이론”

 

블랙-숄즈 방정식은 1987년에 주식 시장이 하루 아침에 붕괴했던 블랙 먼데이의 주요 원인 중 한 가지로 지목되었을 정도로 엄청난 영향을 미쳤습니다. 그러나 1970년에 두 사람이 처음으로 논문을 투고했을 당시의 반응은 차가웠습니다. (…) 하지만 블랙과 숄즈는 포기하지 않고 경제학자의 조언을 받아 논문을 퇴고하고 제목까지 바꾸어 1973년에 논문을 발표하는 데 성공했습니다. 공교롭게도 이 논문이 발표된 시점은 시카고옵션거래소가 문을 연 지 한 달 뒤였는데, 금융업계는 곧바로 이 논문의 가치를 깨닫고 방정식을 옵션 가격 설정에 이용하기 시작했습니다.

_ 4장 “수학으로 주가 변동을 예측하다”