[목 차]
머리말: 세상의 고양이는 모두 몇 마리일까?
1장. 세상의 숫자에는 함정이 있다
어림셈과 계산기
정밀한 숫자의 함정
덜 정밀한 숫자가 더 공정하다
나비효과
이 숫자가 말이 될까?
어림 계산이 통하지 않는 분야들
2장. 어림 계산에 유용한 기초 능력
추산할 때 필요한 능력
여전히 산술 능력은 필요하다
기본적인 사칙연산
소수와 분수
10의 거듭제곱으로 계산하기
알고 있으면 유용한 주요 사실
제로등식
3장. 일상의 문제를 푸는 수학
어림값과 돈
세상의 크기를 가늠하는 법
미터법과 야드파운드법
통계를 바로 보는 법
추세를 파악하는 법
4장. 페르미 문제 해결하기
페르미 추정법
숫자 세기
우연을 계산하는 법
에너지와 기후, 환경에 관한 예측
재미 삼아 풀어 보는 페르미 문제들
맺음말 로봇이 세상을 지배한다면
부록
정답 및 풀이
[본 문]
우리는 수학이 옳고 그른 답만 있는 ‘정확한’ 학문이라고 여긴다. 물론 사실이다. 수학의 상당 부분은 정확성을 판단하는 데 치중한다. 하지만 일상생활에서 따지는 숫자는 그저 왈가왈부하는 값에 불과하다. 만일 숫자를 묻는 모든 질문에 확실하고 ‘정확한’ 답만 있다고 믿는다면, 일상에서 사용하는 숫자가 순수 수학이 제시하는 숫자보다 훨씬 모호하다는 사실을 놓치게 될 것이다.
물론 어떤 사람들은 궤변이라고 생각할 수도 있다. 그래서 어떤 경우에는 어림짐작한 근삿값이 정확한 참값보다 훨씬 쓸모 있고, 더욱 믿을 만하다는 걸 증명하려고 한다. 단, 대략적인 값을 구하더라도 몇몇 계산은 정확하게 할 줄 알아야 한다. 당신의 일정표를 짜는 일과 비슷하다. 구체적이고 정확한 수학은 일상 속 애매한 숫자들을 다루는 바탕이 된다. _8~9쪽
쪽지에다 간단하게 할 수 있는 어림 계산은 사업가들이 새 프로젝트의 실행 가능성을 신속하게 확인할 때 유용하다. 기술자들 역시 제안된 해결책의 효과 여부를 빠르게 확인할 때 어림 계산을 사용한다. 또한 어림 계산은 통계학자들이 정치인이나 숙련된 전문가, 경영 담당자가 버린 무수한 숫자들을 이해하는 데 도움을 주기도 한다. 좀 더 일상적인 수준에서 본다면, 어림 계산은 여러분이 소위 ‘거래’의 희생양이 되지 않도록 매일 사용할 수 있는 수학이다. 계산기에 의존하지 않아도 되는 수학이자 산술이다. _13쪽
“저 공룡은 몇 살이죠?”
“6,900만 22일 살입니다.”
“정말 놀랍네요. 어떻게 그리 정확하게 나이를 알고 있죠?”
관광객의 물음에 안내원이 대답했다.
“음, 제가 첫 출근했을 때 공룡 나이가 6,900만 살이었고, 그때가 22일 전이니까요.” _18쪽
그러므로 코드와 같은 후보자가 16,333표를 받았다고 발표할 때, 실제로는 더 모호하게 표현했어야 한다. ‘거의 확실히는 16,328표에서 16,338표 사이’라고 (아니면 줄여서 ‘16,333표±5’). 만일 투표용지 수를 물리적으로 세는 것만큼 쉽게 해결할 수 있는 일을 믿을 수 없다면, 훨씬 유동적인 다른 값들을 정확하게 세는 게 무슨 의미가 있을까? _28~29쪽
BBC 뉴스 진행자가 교육부 장관을 질타하고, 사실확인 팀이 두 사람의 진술을 실시간으로 검증한다고 상상해 보라. “이번 정부는 2015~16년 이후 학교 지출을 2020년까지 20% 늘릴 계획입니다”라고 장관이 말한다. 화면 하단에 사실확인 팀의 검증 결과가 나온다. “학교에 대한 지출은 10% 증가했지만, 학생 한 명에게 지출하는 금액은 변하지 않을 것이다. 인플레이션을 고려하면 학생 1인당 지출액은 약 10% 정도 감소할 것으로 보인다.” _39쪽
마지막으로 유용한 방법 한 가지만 더 소개한다. 바로 ‘제로 등식 (Zequals) ’이다. 어림 계산을 빠르게 처리하는 비결 가운데 하나는 되도록 간단하게 계산하는 것이다. 물론 어림하는 방법은 수없이 많지만, 제로등식은 계산기의 필요성을 가장 최소화한 방법이 다. 내가 이 방법을 제로등식이라고 부르는 이유는 바로 엄격한 규칙이 있기 때문이다. 나는 제로등식에 걸맞은 기호도 만들었다. 제로등식에 숨은 아이디어는 계산하려는 모든 숫자를 반올림하여 유효숫자 한 개로 나타내는 것이다. 다시 말해, 모든 수를 항상 10이나 100, 1,000에 가장 가까운 수로 반올림하면 된다. _78쪽
만일 은행 이자율이 4%라면, 당신의 예금액을 두 배로 늘리는 데 얼마나 걸릴까? 이런 복리 계산은 마음에 들 만한 아주 간단한 규칙 으로 해결할 수 있다. 바로 ‘72의 법칙’이다. 성장률이 어떻든 (1.2%, 4%, 10%, 심지어 30%라도) 문제의 금액이 두 배가 되는 데 걸리는 기간은 72로 나눠 구할 수 있다. 이자율이 4%일 때, 당신의 예금액은 18년(=72÷4) 뒤에 두 배로 늘어날 것이다. _94쪽
구글이나 마이크로소프트 같은 기업들도 신입 사원을 채용할 때 지원자들의 독특하고 창의적인 발상을 평가하기 위해 페르미 문제를 내곤 한다. 면접시험을 준비하든, 그저 재미로 두뇌 훈련을 하든 페르미 문제 풀기는 유연한 사고를 키울 수 있는 훌륭한 지적 활동 이다. 그래서 이 장에서는 내 상상력을 사로잡은 페르미 문제 들을 골라 보았다. 그리고 그 문제를 푸는 나만의 방법을 각각 덧붙였다. 당신도 당신만의 방법을 선택해 문제를 해결해 보면 좋을 것이다. 장담컨대, 우리가 같은 대답을 내놓을 가능성은 적다. 물론 운이 좋다면 둘 다 비슷한 어림값을 제시할 수는 있겠지만. _143쪽
▼ 수학머리는 주어진 숫자가 말이 되는지 의심하고 추정하는 습관으로 길러진다!
세상에서 가장 간단하고 빠른 계산법
우리 손에는 늘 스마트폰 계산기가 들려 있다. 그럼에도 왜 저자는 산술계산 능력이 중요하다고 말하는 걸까? 우리는 숫자의 정밀성에 집착하는 경향이 있다. 예컨대 뉴스에서 실업자 수가 지난달보다 55,000명이 감소했다고 발표할 때 우리는 정확한 숫자로 표현된 실업자 수 55,000명을 믿을만한 사실로 인식하는 것이다. 하지만 이 숫자 뒤에 따라오는 ‘오차범위 55,000±69,000명에 신뢰도 95%’라는 조건까지 유의 깊게 듣는 사람은 많지 않다.
이 조건에 따르면 실업자 수가 크게는 124,000명이 감소했거나 반대로 14,000명이 증가했을 수도 있다. 어떤 숫자를 선택하는지에 따라 전혀 다른 뉴스거리가 될 수도 있는 것이다. 차라리 ‘아마 실업자가 5만 명가량 줄어든 것으로 보인다‘라는 표현이 더 정확하고 공정할 수 있다. 일상에서 쓰는 수학에서 중요한 건 숫자의 정밀성보다 정확성이다. 1의 단위까지 정밀한 숫자보다 그 숫자가 어떤 근거로 나왔으며 상식적으로 말이 되는지, 숫자의 논리를 따져보는 게 우리의 삶에 더 중요하다.
이러한 논리력은 단지 주어진 숫자를 계산기에 대입하는 방법으로 얻을 수 있는 능력이 아니다. 주어진 숫자에 허점이 어디 있는지 스스로 의심해보고 계산하는 방법을 찾아낼 수 있어야 한다. 숫자의 정확성을 파악하는 데는 어려운 공식이 전혀 필요 없다. 기본적인 사칙연산, 분수, 백분율, 거듭제곱처럼 간단한 산술이면 숫자를 둘러싼 논리를 충분히 점검할 수 있다.
《나는 수학으로 세상을 읽는다》는 간단한 산술을 이용해 원하는 숫자를 빠르게 구할 수 있는 방법을 알려준다. 간단한 예를 소개해보자. 마트에서 장을 보면서 대충 얼마나 나올지 가늠하고 싶다면, 먼저 각 물건 가격의 첫째 자리 숫자만 더한다. 그러면 실제 가격 총합의 하한선이 나온다. 같은 방식으로 두 번째 자릿수를 모두 반올림해 더하면 상한선이 나온다. 실제 값은 상한선과 하한선 사이에 있을 것이므로 두 값의 중간 값을 구하면 합리적인 어림값을 찾을 수 있다. 더 쉬운 방법도 있다. 예를 들어 모든 물건이 1만 원 단위라면 1만 단위의 수만 모두 더한 값에 물건 개수에 5,000원을 곱한 값을 더해도 어림값을 구할 수 있다.
저자는 이런 방식으로 다양한 수치를 빠르게 계산하고 추정할 수 있는 방법을 다양한 예시를 들어 소개한다. 계산서, 저축, 대출, 환전 등 돈에 관한 문제부터 바다에 떠있는 배와의 거리를 손가락을 이용해 재는 방법까지 우리가 일상에서 활용할 수 있는 다양한 수학 기술들을 몸이 기억할 수 있게 흥미롭게 전한다.
▼ 일상에서 평생 써먹는 지적 훈련, 페르미 문제
어림 계산의 권위자는 단연 엔리코 페르미다. 원자폭탄 실험에 관한 일화가 있다. 실험용 원자폭탄이 폭발하자 벙커에 있던 페르미는 자리에서 일어나 큼직한 종이를 잘게 찢어 높이 들어 올리고는 바닥으로 떨어뜨렸다. 폭풍파가 벙커를 강타하자 허공에서 낙하하던 종잇조각들이 약간 뒤로 밀렸고 보폭으로 그 거리를 측정해 폭발 강도를 계산했다. 그리고 그 값은 실제와 꽤 가까웠다.
이처럼 어림 계산에 능했던 페르미가 세기의 천재였음은 두말할 필요가 없다. 페르미가 능했던 계산처럼 충분한 정보 없이 답을 내야 하는 문제를 ‘페르미 문제’라고 한다. 그리고 이 책의 마지막 장은 페르미 문제로 채워져 있다. 페르미 문제는 이 책이 전하는 수학 능력을 활용할 수 있는 최고의 지적 훈련이다.
“성인의 머리카락 수는 몇 개일까? 트럼프 대통령 취임식에 참석한 군중은 몇 명일까? 로또에 두 번 당첨될 확률은 얼마일까? 집에서 가장 많은 에너지를 소비하는 건 무엇일까? 지금 하늘에는 얼마나 많은 비행기가 있을까? 외계인은 어디에 있을까?” 이 책이 담고 있는 페르미 문제들은 수학적 호기심을 자극하고 실용적 지식을 가득 담고 있다.
이러한 문제들을 하나씩 풀다 보면 우리가 일상에서 활용할 수 있는 유연하고 실용적인 사고를 키울 수 있다. 꼭 이 책이 제안하는 풀이가 아닌 자신만의 방식도 발견할 수 있다. 재미있는 것은 각자가 생각해낸 답이 같지 않을 수 있다는 것이다. 정답보다 중요한 것은 필요한 순간에 순발력 있게 논리적인 과정을 떠올리는 힘이다. 이러한 힘은 우리의 수학머리를 자라게 해 수학공부를 할 때나 뉴스를 볼 때 혹은 면접시험을 준비할 때 십분 발휘될 것이다. 우리가 왜 수학을 배우고 어디에 써먹어야 하는지 그 해답이 《나는 수학으로 세상을 읽는다》에 담겨 있다.