알기 쉽게 풀어쓴 선형대수 기초 및 응용

공학을 전공하는 많은 학생은 선형대수학을 처음 접할 때, 예상보다 훨씬 어렵다는 인상을 받는다. 선형대수학이 유독 어렵게 다가오는 이유는 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

① 추상적인 개념과 형식적 정의의 낯섦

선형대수학은 벡터와 행렬을 주로 다루지만, 그 바탕에는 논리적으로 정의된 수학적 구조가 숨어 있다. 처음 배우는 학생들에게는 이러한 추상적인 구조가 낯설고 어렵게 느껴질 수밖에 없다.

② 쏟아지는 새로운 용어들

선형대수학에서는 처음부터 다양한 정의와 용어가 한꺼번에 등장한다. 익숙하지 않은 용어를 따라가다 보면 개념 사이의 미세한 차이를 놓치기도 하고, 마치 새로운 언어를 배우는 것처럼 초심자에게 큰 부담이 된다.

③ 기존 지식과의 연결 부족

미적분학에서는 수치 계산과 그래프 해석을 통해 직관을 얻을 수 있었지만, 선형대수학에는 그런 ‘감각적 지지대’가 거의 없다. 고교 수학에서 다루지 않았던 개념들이 중심을 이루다 보니, 자연스럽게 이질감이 생긴다.

④ 실제 응용에 대한 체감 부족

“이게 실제로 어디에 쓰이죠?” 많은 학생이 자주 묻는 질문이다. 강의에서는 이론과 증명 위주로 진행되지만, 정작 그 실제 응용이 보이지 않을 때 학습 동기는 빠르게 떨어진다.

 

이러한 어려움에도 선형대수학은 자연과학, 공학, 경제 등 거의 모든 분야에서 널리 사용되는 매우 핵심적인 수학이다. 특히 인공지능이나 머신러닝, 컴퓨터 그래픽스나 데이터 과학, 통신공학에서도 선형대수학은 선택이 아닌 필수이다.

[목 차]

CHAPTER 01 행렬과 행렬식

1.1 행렬의 정의와 상등

(1) 행렬의 정의

(2) 행렬의 수학적 표현

(3) 행렬의 상등

1.2 행렬의 기본 연산

(1) 행렬 덧셈

(2) 행렬의 스칼라곱

(3) 행렬의 곱셈

(4) 행렬의 거듭제곱

(5) 단위행렬

(6) 행렬다항식

1.3 특수한 행렬

(1) 전치행렬

(2) 대칭행렬과 교대행렬

(3) 행렬의 분해

(4) 삼각행렬

1.4 행렬식의 정의와 성질

(1) 행렬식의 정의와 계산

(2) 행렬식의 성질

1.5 행렬식의 Laplace 전개

(1) 소행렬식과 여인수

(2) Laplace 전개

1.6 역행렬의 정의와 성질

(1) 역행렬의 정의

(2) 역행렬의 성질

1.7 역행렬 공식

(1) 수반행렬의 정의

(2) 역행렬 공식의 유도

1.8 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 전기회로의 수학적 표현 : 선형연립방정식의 행렬 표현

(2) 선형시스템의 수학적 모델링 : 미분방정식의 행렬 표현

(3) 2-포트 회로 해석 : 행렬의 곱셈

연습문제

 

CHAPTER 02 선형연립방정식의 해법

2.1 기본행연산

(1) 선형연립방정식의 풀이 과정

(2) 기본행연산

2.2 Gauss 소거법

2.3 Gauss-Jordan 소거법

2.4 선형연립방정식의 추가적인 해법

(1) 역행렬에 의한 선형연립방정식의 해법

(2) Cramer 규칙을 이용한 해법

2.5 Gauss-Jordan 소거법을 이용한 역행렬의 계산

2.6 행렬의 LU-분해

(1) LU-분해의 정의

(2) 기본행렬과 기본행연산

(3) 기본행렬의 역행렬

(4) LU-분해의 존재성과 유일성

2.7 LU-분해의 응용

(1) LU-분해를 이용한 선형연립방정식의 해

(2) LU-분해를 이용한 행렬식 계산

(3) LU-분해를 이용한 역행렬 계산

2.8 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 다항식 보간법

(2) 전기회로의 해석 : 마디해석법

(3) 화학방정식의 완성

연습문제

 

CHAPTER 03 유클리드 벡터공간

3.1 벡터와 스칼라

(1) 벡터와 스칼라의 정의

(2) 벡터의 평행이동과 위치벡터

(3) 순서쌍과 유클리드 벡터공간

3.2 벡터 연산: 벡터 덧셈과 스칼라곱

(1) 벡터 덧셈

(2) 벡터의 스칼라곱

(3) 벡터 연산에 대한 대수 법칙

3.3 벡터의 놈(Norm)과 거리

(1) 벡터의 놈

(2) 단위벡터

(3) 표준단위벡터

(4) 두 벡터간의 거리

3.4 벡터의 내적과 성질

(1) 벡터의 내적

(2) 내적의 성분 표시

(3) 내적의 대수적 성질

(4) 두 벡터의 사이각

(5) 내적의 열벡터 표현

3.5 벡터의 외적과 성질

(1) 외적의 정의

(2) 벡터의 외적과 내적이 포함된 연산

(3) 벡터 외적의 행렬식 표현

(4) 스칼라 삼중적

3.6 직선과 평면의 벡터방정식

(1) 직선의 벡터방정식

(2) 직선의 매개변수방정식과 대칭방정식

(3) 평면의 벡터방정식

(4) 세 점을 지나는 평면

(5) 두 평면의 교차각

3.7 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 로봇의 이동 위치 파악

(2) 인공지능의 감성분석

연습문제

 

CHAPTER 04 일반 벡터공간

4.1 벡터공간의 확장

(1) 벡터공간의 정의

(2) 벡터공간의 예

4.2 부분공간

(1) 부분공간의 정의

(2) 부분공간의 검증

(3) 부분공간들의 교집합

4.3 벡터의 선형결합과 생성집합

(1) 벡터의 선형결합

(2) 벡터의 생성공간

4.4 선형독립과 선형종속

(1) 선형독립과 종속의 정의

(2) 선형독립성 판단

(3) 선형독립의 기하학적 해석

4.5 기저벡터와 차원

(1) 선형대수학에서의 좌표계

(2) 기저벡터의 정의

(3) 기저에 대한 좌표

(4) 벡터공간의 차원

(5) 몇 가지 기본 정리

4.6 기저의 변경

(1) 좌표사상

(2) 새로운 기저로의 변경

(3) 전이행렬 표기와 가역성

4.7 행렬공간: 행공간, 열공간, 영공간

(1) 행렬공간의 정의

(2) 비동차 연립방정식 Ax=b의 해

(3) 동차 연립방정식 Ax=0의 해

4.8 행렬의 랭크와 무효차수

(1) 행공간과 열공간의 차원

(2) 기약 행사다리꼴에 대한 행공간과 열공간의 기저

(3) 임의의 행렬에 대한 열공간의 기저

(4) 행렬의 차원 정리

4.9 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 미분방정식의 상태공간 모델링

(2) 기저변경을 통한 유사변환

(3) 데이터 전송에서 랭크의 응용

연습문제

 

CHAPTER 05 선형변환

5.1 선형변환의 정의와 성질

(1) 선형변환의 정의

(2) 선형변환의 성질

5.2 선형변환의 핵과 치역

(1) 핵과 치역의 정의

(2) 핵과 치역의 성질

(3) 선형변환의 랭크와 무효차수

5.3 단사 및 전사 선형변환

(1) 단사함수와 전사함수

(2) 단사 및 전사 선형변환

5.4 역변환과 합성변환

(1) 역변환의 정의

(2) 역변환의 존재성

(3) 선형변환의 합성

5.5 행렬변환

(1) 행렬변환의 정의

(2) 선형변환의 표준행렬

(3) 기본적인 행렬연산자

5.6 행렬변환의 합성과 역변환

(1) 합성의 정의

(2) 행렬변환의 성질

5.7 선형변환의 행렬 표현

(1) 기저에 대한 변환의 효과

(2) 선형변환의 대표행렬

5.8 유사변환

5.9 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 컴퓨터 그래픽스에서 객체의 회전

(2) 선형시스템의 대각화

(3) 2-포트 회로의 해석

연습문제

 

CHAPTER 06 행렬의 대각화

6.1 고유값과 고유벡터의 정의

(1) 행렬 관점에서의 정의

(2) 선형연산자 관점에서의 정의

6.2 특성방정식과 고유벡터의 계산

(1) 특성방정식

(2) 고유벡터의 결정

(3) 고유값과 고유벡터의 성질

6.3 고유공간의 기저

6.4 행렬의 대각화

(1) 고유값 분해

(2) 대각화 가능성 판별

6.5 유사행렬과 불변 성질

(1) 유사행렬의 정의

(2) 유사행렬의 불변성

(3) 행렬의 거듭제곱 계산

6.6 직교행렬의 정의와 성질

(1) 직교행렬의 정의

(2) 직교행렬의 성질

(3) 직교변환의 성질

6.7 직교대각화와 스펙트럼 분해

(1) 직교대각화 문제

(2) 대칭행렬의 성질

(3) 스펙트럼 분해

(4) 스펙트럼 분해를 이용한 행렬의 거듭제곱 계산

6.8 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 이산시간 동적시스템의 응답

(2) 제어시스템의 안정도 해석

(3) 주성분 분석을 통한 데이터 압축

연습문제

 

CHAPTER 07 내적공간과 직교투영

7.1 내적공간의 정의

(1) 내적의 정의

(2) 행렬내적과 내적의 대수적 성질

7.2 내적공간의 직교성

(1) 직교벡터의 정의

(2) 직교여공간

7.3 직교기저와 정규직교기저

(1) 직교집합과 정규직교집합의 정의

(2) 직교집합의 선형독립성

(3) 정규직교기저에 대한 좌표 표현

7.4 직교투영과 Gram-Schmidt 과정

(1) 직교투영의 정의

(2) 직교투영의 정리

(3) Gram-Schmidt 과정

7.5 행렬의 QR-분해

7.6 최적근사 : 최소제곱법

(1) 최적근사의 개념

(2) 최소제곱해의 결정

7.7 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 최소제곱 곡선적합

(2) 제어시스템의 모드 해석

(3) 신호처리에서 신호의 분해

연습문제

 

CHAPTER 08 2차형식과 복소벡터공간

8.1 2차형식과 행렬 표현

(1) 다변수함수의 정의

(2) 2차형식의 정의와 행렬 표기법

8.2 2차형식의 변수변환

8.3 2차형식의 부호

(1) 2차형식과 행렬의 부호

(2) 2차형식의 부호 판별

8.4 복소벡터공간

(1) 복소 유클리드 내적

(2) 복소행렬

(3) 복소행렬의 고유값과 고유벡터

8.5 특수한 복소행렬

(1) 유니터리행렬과 에르미트행렬

(2) 에르미트행렬과 유니터리행렬의 성질

8.6 여러 가지 공학적 응용 예

(1) 제어시스템의 Lyapunov 안정도 해석

(2) 제약된 조건하에서의 극값 문제

(3) 전력시스템 해석

연습문제

 

부록

참고문헌

연습문제 해답