올어바웃 영재기하 - 영재학교 과학고 입시를 관통하는 기하의 완성

머리말

 

영재, 특목 고등학교에 진학하고자 하는 학생들과 함께 한 15년이 넘는 시간은 그들과 배움을 같이 하는 시간이었습니다. 그 과정의 시작은 학생에게나 그리고 저에게나 결코 쉽지만은 않았습니다. 고등과정 선행뿐만 아니라 수학 경시, 과학 올림피아드, 포트폴리오 준비 등 중학생이 쉽게 접근할 수 없는 상당한 노력과 난이도를 요구하는 것들이었기 때문입니다.

 

시간이 흘러 교육과정이 개편되고 영재, 특목고의 입시도 현재의 과학 인재에게 필요한 역량 중심으로 조금씩 변화해 갔습니다. 물론 22년 개편안 발표 이후 몇 년간의 영재, 과학고 입시는 매년 그 방향성을 조금씩 바꿔가며 조정 기간이 있었던 만큼 학생들이 입시를 준비하는 과정에 약간의 혼선이 있었던 것도 사실입니다.

 

몇 번의 작은 변화 후 이제는 처음 영재, 특목 입시 개편의 목적과 그 방향성을 맞춰 예전에는 필수적이었던 고등 선행이나 경시과정을 필수로 하지 않는 “중등 심화”와 “자기 주도 학습”에 중점을 두고 한 명의 천재가 아닌 팀플레이가 가능한 미래의 과학인재 선발로 자리잡아 가고 있습니다.

 

이러한 변화의 과정과 같이 발맞추어 변화해야 하는 학습 컨텐츠의 필요성을 느끼고 수업을 위해 준비해왔던 많은 중등교육 논문과 외국에서 활용하고 있는 영재 교육 자료들을 모두 묶어 책으로 출간하게 되었습니다. 단순히 이론들을 나열하기 보다는 중등과정에 나온 이론들의 배경과 논리적 연결, 발전된 이론 등 중등과정의 기하를 학습함에 있어 영재, 특목 입시를 준비하는 “자기 주도적 학습”을 하는 학생들이라면 호기심을 가지고 찾아봤을 내용들까지 더욱 쉽게 이해할 수 있도록 구성하려 하였습니다.

 

미래의 과학 인재를 희망하는 많은 학생들이 경시대회의 어려운 문항을 준비하며 획일적으로 이론의 암기와 풀이 방법의 연습만을 반복하며 힘들어 합니다. “중등심화”는 “난이도의 어려움”이 아닌 중등 과정을 얼마나 깊게 학습하고 스스로 생각해 봤는지 “생각의 깊이”를 의미하는 것이라 생각합니다. 이 책을 통해서 한번 더 생각해 볼 수 있는 소재들을 얻을 수 있기를 바라고 더불어 어렵게만 느끼는 기하 과목에 작은 재미도 느끼실 수 있기를 희망해 봅니다.

 

이 책이 완성될 수 있도록 부족한 저를 도와주신 도서출판 세화의 모든 분들께 감사의 말씀을 드립니다. 매일 묵묵히 저를 바라보며 기다려준 그리고 언제나 저의 편이 되어준 아내 임이랑 님과 저의 두 딸 지호, 지원, 그리고 마지막으로 어떤 말로도 그 감사를 전할 수 없을 만큼 저에게 모든 것을 다 내어주신 저의 부모님, 송두옥, 김학실 님께도 감사의 말씀을 드립니다. 제가 아닌 여러분들의 노력으로 이 작은 발걸음을 할 수 있었습니다. 여기서 멈추지 않고 미약하지만 작은 발자국 남기며 한발씩 앞으로 나아가겠습니다.

저자 송 수 상

[목 차]

CHPTER 01 평면도형

1. 점, 선, 면 22

2. 직선, 반직선, 선분 22

3. 길이 23

4. 내분점과 외분점 24

5. 각 25

6. 원 27

7. 원과 접선 28

8. 오일러 지표 28

9. 오일러 지표의 활용 30

10. 픽의 정리 33

• 단원종합평가 36

• 영재실전문제 38

 

CHPTER 02 도형의 이동

1. 합동 44

2. 합동변환(등거리변환) 45

3. 평행이동 46

4. 회전이동 47

5. 대칭이동 48

6. 선(축)대칭 도형 48

7. 점대칭 도형 49

8. 삼각형의 대칭성 49

9. 사각형의 대칭성 50

• 단원종합평가 54

• 영재실전문제 60

 

CHPTER 03 넓이와 길이

1. 삼각형, 사각형의 넓이 64

2. 파이에 대한 고찰 65

3. 원의 넓이 67

4. 원의 둘레 69

5. 원에서의 각 70

6. 부채꼴 71

7. 정폭도형 73

• 단원종합평가 76

• 영재실전문제 81

 

CHPTER 04 평행선의 성질

1. 평행선의 정의 88

2. 맞꼭지각, 동위각, 엇각 88

3. 평행선의 성질 89

4. 종이접기의 원리 91

5. 등적변형 94

6. 반적변형과 배적변형 97

7. 유클리드 분할론 99

8. 등적변형의 대수적 활용 102

• 단원종합평가 103

• 영재실전문제 108

 

CHPTER 05 다각형의 성질

1. 다각형의 정의와 분류 116

2. 다각형의 성질 117

3. 별꼴다각형 118

4. 내각, 외각의 주요 정리 121

5. 빛의 반사(각의 활용) 122

6. 정다각형의 성질 124

7. 비례분할 126

8. DPF 127

9. 테셀레이션 129

• 단원종합평가 134

• 영재실전문제 141

 

CHPTER 06 삼각형과 사각형

1. 이등변삼각형 148

2. 정삼각형 151

3. 직각삼각형 153

4. 평행사변형 156

5. 직사각형 158

6. 마름모 158

7. 정사각형 159

8. 등변사다리꼴 159

9. 사각형 사이의 관계 159

10. 사각형의 합동 160

• 단원종합평가(삼각형) 162

• 단원종합평가(사각형) 168

• 영재실전문제 174

 

CHPTER 07 도형의 닮음

1. 비와 비례관계 184

2. 삼각형의 닮음(외적비) 185

3. 닮음조건의 논증 186

4. 삼각형의 한 변에 평행한 직선 189

5. 닮음의 중심과 닮음위치 190

6. 닮음도형의 넓이비와 부피비 191

7. 닮음 활용의 대표 예시 192

8. 삼각형의 내적비 192

• 단원종합평가 196

• 영재실전문제 202

 

CHPTER 08 평행선과 선분의 비

1. 삼각형과 선분비(1) 208

2. 삼각형과 선분비(2) 209

3. 평행선과 선분비 209

4. 각의 이등분선의 비율 210

5. 중점연결정리 211

6. 사다리꼴을 이용한 응용 211

7. 삼각형의 중선 214

8. 선분의 비와 넓이비 217

9. 닮음도형의 넓이비/부피비 221

10. 직각삼각형 닮음의 활용 221

11. 입체의 부피비 222

• 단원종합평가 224

• 영재실전문제 232

 

CHPTER 09 체바, 메넬라우스 정리

1. 지렛대의 원리 240

2. 다각형의 무게중심 241

3. 삼각형 중선에 의한 분할 242

4. 삼각형 각의 이등분선 분할 243

5. 삼각형 내부의 선분 분할 243

6. 체바의 정리(Ceva’s Theorem) 244

7. 메넬라우스 정리 247

8. 체바/메넬라우스 정리 비교 250

• 단원종합평가 251

• 영재실전문제 255

 

CHPTER 10 원의 성질(1)

1. 원의 정의 260

2. 원의 호와 현 260

3. 원과 삼각형 262

4. 원주각과 중심각 267

5. 원에 내접하는 사각형 272

• 단원종합평가 279

• 영재실전문제 285

 

CHPTER 11 원의 성질(2)

1. 원의 접선 292

2. 접선과 현의 각 299

3. 방멱의 정리(접선과 할선) 300

4. 역평행 직선 301

5. 원의 추가적 정리 303

• 단원종합평가 313

• 영재실전문제 317

 

CHPTER 12 피타고라스 정리

1. 피타고라스 학파 324

2. 피타고라스 정리의 증명 326

3. 중선정리 336

4. 헤론의 정리 338

5. 피타고라스 정리의 일반화 341

6. 피타고라스 수 343

7. 피타고라스 정리의 활용 346

8. 사영정리 347

• 단원종합평가(평면) 348

• 영재실전문제(평면) 351

• 단원종합평가(입체) 357

• 영재실전문제(입체) 362

 

CHPTER 13 입체도형의 성질

1. 공간의 구성 370

2. 다면체 375

3. 다면체에서의 오일러 지표 376

4. 정다면체 378

5. 준정다면체 382

6. 입체도형의 절단 388

7. 회전체 393

• 단원종합평가 395

• 영재실전문제 400

 

CHPTER 14 입체도형의 겉넓이와 부피

1. 기둥의 겉넓이와 부피 408

2. 뿔의 겉넓이와 부피 410

3. 구의 겉넓이와 부피 414

4. 파푸스 정리 419

• 단원종합평가 420

• 영재실전문제 426

 

CHPTER 15 삼각형의 성질 확장

1. 사인 법칙 432

2. 코사인 법칙 433

3. 헤론의 공식 434

4. 닮음조건의 재해석 435

5. 스튜어트 정리 436

6. 카르노(Carno)의 정리 437

7. 수심삼각형 439

8. 수족삼각형 441

9. 중점삼각형과 오일러 직선 443

10. 멘션 정리 444

11. 세르보어 정리 445

12. 심슨 정리 446

13. 데자르그 정리 447

• 단원종합평가 448

• 영재실전문제 451

 

정답 및 해설 457

참고문헌 622