컴퓨터과학을 위한 이산수학 - AI 머신러닝의 기초가 되는 수학적 사고

컴퓨터과학은 계산을 수행하는 기술인 동시에 구조를 다루는 학문이다 프로그램의 조건은 논리식으로 표현되고 데이터의 분류는 집합과 관계로 설명되며 재귀 호출과 반복 과정은 귀납법과 점화 관계에 연결된다 통신망 웹 링크 작업 의존성은 그래프로 모델링되고 보안과 오류 검출에는 정수의 나눗셈과 모듈러 연산이 사용된다 이산수학은 이처럼 컴퓨터과학의 여러 대상을 정확한 언어로 표현하고 가능한 경우를 체계적으로 탐색하며 알고리즘이 왜 올바르게 동작하는지를 이해하게 하는 기초를 제공한다

이 책은 컴퓨터과학을 처음 공부하는 대학 학년을 대상으로 한다 수학적 정의와 기호를 처음 접하는 독자도 따라올 수 있도록 작은 예에서 출발하여 개념을 정리하고 바로 이어지는 예제와 그림으로 의미를 확인한다 정리의 증명을 완전히 배제하지는 않지만 긴 형식적 증명을 재현하는 것보다 정리의 가정과 결론을 구분하고 언제 사용할 수 있는지 판단하며 잘못 적용했을 때 나타나는 반례를 이해하는 데 더 큰 비중을 둔다

본문은 논리 집합과 함수 증명과 귀납법 관계 알고리즘과 복잡도 조합론 점화관계와 동적 계획법 부울 대수와 유한상태 모델 그래프와 트리 그래프 알고리즘 정수론과 암호의 기초를 다룬다 확률과 통계 선형대수 미분 연속 최적화는 별도의 교재인 AI와 기계학습을 위한 수학 에서 다루므로 이 책에서는 중복하여 전개하지 않는다 예를 들어 이 책의 인접 행렬은 그래프를 저장하는 표현으로 사용하지만 행렬의 고유값이나 특이값 분해는 다루지 않는다

각 장에는 컴퓨터과학의 사례와 짧은 파이썬 코드가 포함되어 있다 코드는 개념을 대신하는 것이 아니라 작은 입력을 실험하고 알고리즘의 진행 과정을 추적하며 수학적 결과를 검산하기 위한 보조 도구이다 따라서 코드를 실행한 결과만으로 일반 명제가 증명되었다고 결론 내리지 않으며 관찰ㆍ추측ㆍ유한 전수조사ㆍ수학적 증명을 구분한다

 

<파이썬 학습에 대한 안내>

파이썬에 익숙하지 않은 독자는 파이썬 실험 코드 실행 결과 부분을 생략해도 된다 본문 풀이 예제 그림 장 요약과 연습문제를 중심으로 읽으면 각장의 핵심 개념과 논리적 흐름을 충분히 따라갈 수 있다. 이후 프로그래밍에 익숙해졌을 때 코드 부분으로 돌아와 계산 실험을 수행해도 된다 수업에서도 파이썬 실습은 선택적으로 운영할 수 있다 실습을 생략하는 경우에는 코드의 실행 과정을 손으로 추적하거나 표를 완성하거나 의사코드로 알고리즘을 설명하는 활동으로 대체할 수 있다

 

이 책을 통해 독자가 공식을 암기하는 데 머물지 않고 문제에서 어떤 구조를 찾아야 하는지 그 구조를 어떤 수학적 대상으로 표현할지 어떤 정리나 알고리즘을 적용할지 스스로 판단하게 되기를 바란다 또한 작은 예를 관찰하고 반례를 찾으며 답뿐 아니라 그 답이 타당한 이유를 설명하는 습관을 갖게 되기를 바란다

[목 차]

0.이산수학과 파이썬 실험

1. 명제 논리와 논리적 추론

2. 집합, 함수와 수열

3. 증명의 기본 도구, 귀납법과 재귀

4. 관계와 순서 구조

5. 알고리즘과 계산 복잡도

6. 경우의 수와 조합론

7. 점화 관계와 동적 계획법

8. 부울 대수와 유한상태 모델

9. 그래프의 기본 개념

10. 트리와 계층적 구조

11. 그래프 알고리즘

12. 정수론과 암호의 기초